Bienvenidos, esta entrada está dedicada a un análisis matemático que será de utilidad ante situaciones de la vida diaria,en los estudios universitarios y en el entorno profesional.
En esta ocasión, la la entrada ha incorporado algunas estrategias nuevas, por lo que se pide al lector que revise todo lo escrito hasta el final de la publicación. Se han implementado mejoras y a los representantes se les ha dejado una nota especial al final de la entrada.
PRESENTACIÓN DEL TEMA
Ante de desarrollar el tema, respondamos algunas interrogantes interesantes...
¿Qué es el análisis combinatorio o la combinatoria?
La combinatoria es una rama de las matemáticas cuyo objeto es estudiar las posibles agrupaciones de objetos que podemos llevar a cabo de un modo rápido teniendo en cuenta las relaciones que deben existir entre ellas.
¿Par qué sirve la combinatoria?
La teoría del análisis combinatorio nos puede ayudar a resolver diversos "problemas de conteo", tanto en la vida diaria como en el entorno profesional.
Se aplica en aquellas situaciones donde distintas maneras de agrupar un número determinado de elementos tenga importancia.
¿Cuáles son las aplicaciones de la combinatoria?
Por nombrar algunos ejemplos, les cito los siguientes:
- La manera en que podríamos ordenar a un grupo de personas para desarrollar una actividad específica.
- Las diferentes formas en que podría quedar estructurada una junta directiva en una organización o empresa de varias personas, asignando los cargos.
- Maneras diferentes de arreglar un conjunto de adornos en una mesa.
TEORÍA Y EJEMPLOS
Para continuar el tema, quiero destacar que en la teoría del análisis combinatorio existen:- Las permutaciones
- Las variaciones
- Las combinaciones
Para su aprendizaje, utilizaremos el siguiente diagrama general:
Si te has fijado en los detalles, existe una nueva expresión en las fórmulas, y es que está presente el símbolo de la exclamación "!".
Cuando se usa el !, se está aplicando una operación matemática conocida como el "factorial".
Veamos cómo se calcula el factorial de un número...
La operación factorial
La función factorial se representa con un signo de exclamación “!” detrás de un número. Esta exclamación quiere decir que hay que multiplicar todos los números enteros positivos que hay entre ese número y el 1 (tomado de smartic.es)
Por ejemplo:
Más ejemplos:
- Las permutaciones
- Las variaciones
- Las combinaciones
Para su aprendizaje, utilizaremos el siguiente diagrama general:
Más ejemplos:
A medida que se le aplica la función factorial a un valor más grande,el resultado crece de manera geométrica.
en cuanto a los números como 1 y 0, el factorial resulta así:
1!= 1
0! = 1
Combinaciones
Las combinaciones son las distintas formaciones con un conjunto de n elementos. Una formación se distingue de otra al menos en la existencia de un nuevo elemento. El tamaño de estas formaciones está dado por m. En este tipo de formaciones el orden no importa.
Del esquema principal, traeremos la fórmula correspondiente a las combinaciones (Sin repetición):
Los elementos que componen esta fórmula son lo siguiente:
C: número de "combinaciones" posibles.
n: representa el tamaño de la muestra, la cantidad de elementos que contiene el conjunto, es decir, todos los elementos seleccionables.
m: representa la cantidad de elementos seleccionados del total.
Veamos un ejemplo de su utilización:
De una lotería estudiantil, ¿cuántas apuestas diferentes habría que hacer para asegurarse de ganar el premio principal?.
En esta lotería se seleccionan 10 números de un total de 16 números que participan para su selección.
Del enunciado podemos extraer los siguientes datos:
n: 16
m: 10
utilizando la fórmula, iniciamos el planteamiento así:
De esta manera se han sustituido correctamente los datos suministrados por el ejercicio, ahora se desarrollan los factoriales:
Vamos a hacer una observación en esta expresión:
En color azul se han resaltado dos factores iguales en el numerador y en el denominador, es posible efectuar una cancelación o eliminación de los mismos, como se hace cuando tenemos factores iguales en un cociente. La expresión resultante será más simple, viéndose de esta manera:
Con el uso de la calculadora, terminamos de resolver esta expresión para obtener el siguiente resultado.
Además, es posible desarrollar la operación de esta otra manera, llevando los cálculos de factorial en la calculadora, respetando el orden de las operaciones en pantalla, llegando en forma un poco más directa al mismo resultado:
Esto lo logras escribiendo en tu calculadora la siguiente expresión:
Uso de las teclas [Shift] y [!]
Observa que se han empleado los paréntesis, para indicar el orden en que la calculadora debe efectuar los cálculos.
Nota: Dependiendo de cada calculadora, la función factorial se puede encontrar en un botón ubicado en diferentes lugares, en el caso de la imagen, es la "segunda función" del botón "X a la menos 1", por lo que para activarla se debe presionar primero el botón "Shift" y después el botón en donde está el factorial. Cada estudiante tendrá que explorar su propia calculadora para descubrir en dónde está la tecla que tiene esa función.
Para terminar el ejercicio:
Recordando la pregunta inicial /¿cuántas apuestas diferentes habría que hacer para asegurarse de ganar el premio principal?/, este resultado se interpreta de la siguiente manera:
Se requiere efectuar 8008 apuestas diferentes, para asegurar obtener el premio.
Este ejemplo ha permitido demostrar el uso de las combinaciones.
Ahora, en base a la explicación anterior, se le pide al estudiante que intente resolver el siguiente ejercicio de combinación:
Un paquete de cartas de números contiene cartas numeradas desde el 1 al 40.
En un juego de mesa, antes de empezar se toman 5 cartas del paquete y se colocan descubiertas sobre la mesa, en cualquier orden.
Se quiere saber: ¿de cuántas formas diferentes pueden quedar colocadas esas 5 cartas?
Observamos que no importa en qué orden se toma cada carta, ya que al quedar colocada sobre la mesa será igual, por lo que estamos claramente ante un caso de "combinación" .
Nuevamente traemos la fórmula de combinaciones (sin repetición):
Datos.
n: 40 (Cantidad de de cartas numeradas existentes)
m: 5 (cantidad de cartas seleccionadas)
Aplicamos la fórmula,
En color azul se han resaltado dos factores iguales en el numerador y en el denominador, es posible efectuar una cancelación o eliminación de los mismos, como se hace cuando tenemos factores iguales en un cociente. La expresión resultante será más simple, viéndose de esta manera:
Con el uso de la calculadora, terminamos de resolver esta expresión para obtener el siguiente resultado.
Existen 659008 posibilidades en la forma en que pueden quedar las cartas al iniciar el juego.
Para reforzar ñas explicaciones anteriores, puedes ver un ejemplo más en el siguiente video:
Video tomado de unicoos matemáticas
Permutaciones
Permutaciones sin repetición
Son por definición el producto indicado de todos los números enteros y positivos desde el número dado hasta la unidad (1). En este tipo de formaciones el orden sí importa.
Del esquema principal, traeremos la fórmula correspondiente a las permutaciones (sin repetición):
Los elementos que componen esta fórmula son los siguientes:
P: número de permutaciones sin repetición.
n: representa el tamaño de la muestra, la cantidad de elementos que contiene.
En el siguiente ejemplo se aprecia su utilización:
¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los números 5, 7 y 9?
La primera observación es que generar números con estas cifras implica que el orden sí importa,ya que no es igual el número 579 al número 975.
Lo otro que se puede observar es que como las cifras son diferentes, los números no se pueden repetir (5, 7 y 9 son diferentes).
Por último es muy importante destacar que en una permutación siempre se emplean todas las cifras para la construcción del número. (números de 3 cifras usando 3 cifras)
Veamos cómo se resuelve...
La respuesta es que se pueden generar 6 números de 3 cifras con las cifras 5, 7 y 9.
Si quisieras saber todas las permutaciones, sólo tendrías que generar cada caso, de la siguiente manera:
- 579
- 597
- 759
- 795
- 957
- 975
Sólo 6 posibilidades.
Nota importante: el valor de los elementos utilizados (en este caso los números 5, 7 y 9), no tienen ninguna influencia en el cálculo de la permutación. Resultaría igual si las cifras hubiesen sido 1, 2 y 3, o letras (A, B, y C), lo que contó fue que eran tres elementos (y por ser permutación se utilizaron los tres).
Veamos un nuevo ejemplo:
En una escuela han adquirido 4 grandes contenedores cilíndricos para botar la basura, de acuerdo a los criterios del reciclaje. De manera que uno es para el papel (P), otro para vidrio (V), otro para desechos orgánicos (O) y el último es para metal (M). El director del plantel ordenó que colocaran los cuatro contenedores en el patio general de la escuela, pero la persona encargada se pregunta ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ordenar los 4 contenedores en el patio?
Solución:
El planteamiento es similar al caso anterior, a diferencia de que se están utilizando letras en vez de cifras numéricas.
Comencemos por identificar que:
- El orden sí importa.
- Se consideran todos los elementos disponibles (esto determina que es una permutación)
- todos los elementos son diferentes (Permutación sin repetición)
Ya nos aseguramos de estar ante un caso de de permutación sin repetición, ahora se repite el procedimiento aplicado en el ejemplo anterior:
Datos.
n = 4.
El resultado de la permutación se interpreta de la siguiente manera:
De 24 manera diferentes se pueden ordenar los 4 contenedores de desperdicio en el patio general del colegio.
Como pueden apreciar, las aplicaciones e las permutaciones pueden ser muy útiles para determinar el número e posibilidades para ordenar una serie de datos.
Si deseas reforzar los conocimientos de permutación sin repetición, puedes mirar el siguiente ejemplo de youtube:
Video tomado de unicoos matemáticas
Permutaciones con repetición
En este caso, cuando se elabora el planteamiento del ejercicio, se proporcionan una cantidad de elementos con la repetición de algunos de ellos, de los cuales también hay que considerarlos a todos para la creación de la serie. En este tipo de formaciones también el orden importa.
Del esquema principal, traeremos la fórmula correspondiente a las permutaciones (con repetición):
Los elementos que componen esta fórmula son los siguientes:
PR: número de permutaciones con repetición.
n: representa el tamaño de la muestra, la cantidad de elementos que contiene
X: representa la cantidad de veces que se repite un elemento suministrado en el planteamiento.
Y: representa la cantidad de veces que se repite otro de los elementos suministrados en el planteamiento.
Z: igualmente, representa la cantidad de veces que se repite otro de los elementos suministrados en el planteamiento.
Nota: la cantidad de variables en la fórmula (X, Y, Z...) dependerá de la cantidad de elementos diferentes que estén presentes en le planteamiento del ejercicio.
Vamos a ver esta fórmula en acción:
Se dispone de las siguientes cifras: 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8 y 8. ¿de cuántas manera diferentes se puede construir un número de 8 cifras empleando las cifras disponibles?
Observaciones:
Generar números con estas cifras implica que el orden sí importa.
Se suministran 8 cifras y se pide construir números de 8 cifras (esta es la clave para descubrir que es es una permutación).
Como algunas o todas las cifras se repiten, se confirma que estamos en en caso de "permutación con repetición".
Veamos cómo se resuelve...
Partiendo de la expresión adecuada par este caso, procedemos a identificar los datos correspondientes:
Datos.
n: 8 (corresponde a la cantidad de elementos o cifras suministradas)
X: 3 (corresponde a la cantidad de veces que se repite la cifra "5")
Y: 2 (corresponde a la cantidad de veces que se repite la cifra "6")
Z: 3 (corresponde a la cantidad de veces que se repite la cifra "8")
Ya ves que los valores X, Y y Z representan el número de repeticiones de las cifras (o elementos) suministrados.
Ahora procedemos a sustituir los valores en la fórmula,
La interpretación de ese resultado es la siguiente:
Se pueden generar 560 números diferentes de 8 cifras.
Para reforzar la explicación de este caso, se deja un video con un ejemplo más:
Video tomado de unicoos matemáticas
Variaciones
Son las distintas agrupaciones de m elementos, que pueden formarse con un grupo de n elementos dados, de tal manera que las agrupaciones se diferencien en el orden y/o naturaleza de sus elementos. En este tipo de formaciones el orden sí importa.
Variaciones sin repetición
En este tipo de formación un elemento no aparece más de una vez en cada agrupación.
Del esquema principal, traeremos la fórmula correspondiente a las variaciones (sin repetición):
Los elementos que componen esta fórmula son los siguientes:
V: número de variaciones sin repetición.
n: representa el tamaño de la muestra, la cantidad de elementos que contiene.
m: número de elementos seleccionados.
se utiliza m para determinar la extensión de la fórmula, así que esta puede variar su longitud dependiendo del valor de m. Veamos algunos casos:
Cuando m es igual a 2
cuando m es igual a 3
Cuando m es igual a 4
Cuando m es igual a 5
y así sucesivamente...
En el siguiente ejemplo se aprecia su utilización:
Un grupo de estudiantes de 3er año, se organizan para crear un club de ajedrez. Este club debe tener un Presidente, un Secretario y un Comentarista. Si son 8 estudiantes en total, ¿de cuántas manera diferentes se pueden asignar los puesto de Presidente, Secretario y Comentarista a los integrantes de ese club?
La primera observación es que se proporciona un grupo de 8 elementos (8 personas) y sólo se seleccionarán 3 elementos (3 personas). Una característica teórica de los casos de variaciones es que siempre la "selección" de elementos es un número diferente al total disponible de elementos a seleccionar (n).
Observemos que una persona no puede ocupar dos puestos a la misma vez, por lo tanto no puede repetir lugar. Esto indica que estamos ante un caso de variación sin repetición.
Datos.
n: 8 (número de personas que participan para la selección de los puestos)
m: 3 (número de puestos que se asignarán)
Veamos cómo se resuelve...
Como m es igual a 3, entonces la fórmula se define así:
La respuesta es que se pueden generar 336 posibles variaciones en la forma de asignar los cargos de Presidente, Secretario y Comentarista en el club de ajedrez.
Como puede ver, es un cálculo bastante sencillo en realidad.
Veamos un segundo ejemplo
En una caja de colores hay 10 creyones diferentes. Se desea tomar 4 de ellos para realizar un dibujo libre, ¿de cuántas diferentes maneras se puede realizar la selección de estos colores? Considere que el orden importa.
Resolviendo,
Datos.
n: 10 (es el número total de creyones)
m: 4 (es la cantidad de creyones a seleccionar)
veamos cómo debe ser esta vez la fórmula... ya que m es igual a 4,
sustituyendo
La respuesta es que de 5040 maneras se pueden seleccionar 4 colores de un grupo de 10 diferentes colores. Esto da una idea muy clara del número de posibilidades que existen en una selección que a veces no nos imaginábamos.
Para reforzar las explicaciones anteriores puedes mirar el siguiente video:
Video tomado de unicoos matemáticas
Variaciones con repetición
En este tipo de variación un elemento puede aparecer más de una vez en cada formación, es decir, repetir entre una formación y otra.
Del esquema principal, traeremos la fórmula correspondiente a las variaciones (con repetición):
Los elementos que componen esta fórmula son los siguiente:
VR: Número de variaciones con repetición.
n: representa el tamaño de la muestra, la cantidad de elementos que contiene.
m: número de elementos seleccionados.
Veamos un ejemplo para ilustrar el uso de esta fórmula:
Empleando las cifras 3 y 4, ¿cuantos números de de 4 cifras se pueden generar?
Observemos que se han ofrecido 2 cifras para realizar el ejercicio, y se deben construir números de 4 cifras. La selección para el número de cifras fue de 4, una cantidad "mayor" a la cantidad de cifras disponibles. Esto ya nos dice que estamos ante un caso de variaciones.
El simple hecho de tener que construir un número con más cifras de la cantidad original suministrada, implica que debe haber una "repetición" de las cifras para poder completar el número. (Variación con repetición)
Resolvamos:
n. 2 (cantidad de elementos suministrados)
m: 4 (cantidad de elementos a emplear)
Usando la fórmula,
Esto significa que existen 16 formas de crear números de 4 cifras que contengan las cifras 3 y 4.
Quizás les sorprenda un resultado tan pequeño, la razón es la forma de la operación que se realizó.
Nota: el valor de las cifras utilizadas para el ejemplo no tuvo influencia en el resultado obtenido, lo que realmente importó fue que eran 2 cifras.
Veamos un segundo ejemplo...
¿Cuántos números de 6 cifras se podrían construir a partir de las cifras 5, 7 y 9?
n: 3 (tres cifras disponibles)
m: 6 (6 cifras tendrá el número a construir)
aplicamos la fórmula:
Existen 729 variaciones posibles de números de 6 cifras construidos con las cifras 5, 7 y 9.
Para ampliar las explicaciones puedes mirar el siguiente video.
Video tomado de unicoos matemáticas
Fin de la explicación.
COPIAR TODA LA TEORÍA MÁS LOS EJEMPLOS RESUELTOS EN EL CUADERNO TIENEN UN VALOR DE 5%
(Esto debe ser enviado en la fecha indicada para su evaluación)
Notas sobre la copia en el cuaderno: Al escribir la clase en el cuaderno sólo se requiere copiar un ejemplo por caso, y los ejemplos de los videos no se incluyen.
ASIGNACIÓN (VALOR: 15%)
A continuación se presenta una selección de ejercicios que deben ser resueltos en hojas blancas, y luego remitidos al docente en la fecha establecida para su posterior evaluación.
Lo primero es colocar una portada básica que lleve todos los datos de la asignación:
- Año académico.
- Sección.
- Nombre y Apellido del estudiante.
- Número de la asignación (#3). (o Cuaderno #3)
- Fecha de entrega.
Ejercicios:
A continuación se presentan los ejercicios que se deben desarrollar y entregar como asignación:
Para cada planteamiento, se debe identificar el tipo de combinatoria presente (combinación, permutación o variación) y si es con repetición o no. Luego resolverlo y al final dar la interpretación escrita de la respuesta obtenida.
1.- Un niño pequeño está jugando a los carritos con 7 carros diferentes de juguete. Su juego consiste en colocarlos en el estacionamiento que él ha construido para ellos. Este estacionamiento tiene exactamente 7 puestos. determine ¿de cuántas maneras diferentes podría el niño colocar sus carritos en ese estacionamiento?
2.- En farmatodo están conformando un nuevo equipo de trabajo con el personal que allí labora. son 15 personas y van a asignar las siguientes responsabilidades: un Supervisor, un Jefe de caja, un Coordinador de limpieza, un Portero y un Chofer.
Determine ¿de cuántas maneras diferentes se pueden asignar las responsabilidades al equipo de trabajo?
3.- En el pueblo de Churuapa, se celebra cada año una lotería especial, la cual se gana acertando 10 números seleccionados del 1 al 25. Cada participante compra un ticket que tiene 10 diferentes número seleccionados y todos los tickets son diferentes. ¿Cuántos tickets habría que comprar para asegurarse de ganar el premio de la lotería?
4.- Con las cifras 2, 4, 6 y 8, ¿cuántos números de 7 cifras se podrían generar?
5.- Con las cifras 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 9, 9, ¿Cuántos números de 10 cifras se pueden generar?
CONDICIONES DE EVALUACIÓN
Para que sepas de qué manera será evaluada tu asignación, he elaborado una "rúbrica", que es un instrumento de evaluación que indica el valor de cada actividad realizada. Por medio de esta rúbrica te podrás guiar para buscar el máximo rendimiento.
Rúbrica de Evaluación
| Aspecto | Identificación correcta del caso | Desarrollo del caso apropiado | Resultado Correcto | Interpretación del resultado | Total |
| Descripción | El estudiante identifica correctamente el caso correspondiente al ejercicio planteado | El estudiante desarrolla el caso correspondiente al ejercicio planteado con todos sus pasos | la respuesta del ejercicio desarrollado es correcta | El estudiante interpreta correctamente la respuesta obtenida | Sumatoria de todos los parámetros de evaluación |
| Valor | 5 | 5 | 5 | 5 | 20 |
Condiciones de elaboración y entrega de la "asignación" y "clase en el cuaderno"
Nuevamente, se han actualizado las indicaciones con el propósito de seguir mejorando las condiciones de envío y evaluación de las tareas.
- Debe ser realizada a mano en hojas numeradas.
- Debe llevar los datos solicitados en la portada.
- La asignación debe ser fotografiada y enviada al docente únicamente al correo electrónico. (Tomar fotos de día o con buena iluminación)
- Se recomienda transformar las imágenes a PDF usando cualquier alternativa disponible, ya que esto reduce considerablemente el tamaño del documento final (esto logra una disminución de hasta el 80% del tamaño del archivo) y así al enviarlo el gasto de internet será mucho menor, así como será más rápido y con menos problemas. Algunas alternativas para hacer esto son:
- Guardar el un documento Word todas las imágenes ordenadas y luego "guardar como" PDF.
- Instalar en la PC un programa de Impresora PDF (PDF Printer), e imprimir seleccionando esta impresora. <Descargar aquí>(Seleccionar la versión "PRIVADO")
- Instalar en el teléfono aplicaciones que hagan la conversión de imágenes a PDF como las siguientes:
- JPG to PDF Converter (Android) <Descarga aquí>
- Camscanner (Android) <Descarga aquí>
- Adobe Scan (Android) <Descarga aquí>
- Adobe Scan (Iphone) <Descarga aquí>
- Digitalizar las páginas con un escáner y mediante el propio software (del escáner) hacer la conversión a PDF.
Aquí una sencilla guía que he elaborado para usar la aplicación JPG to PDF Converter (para Android) de la manera más eficiente:
- Los plazos máximos de entrega son los siguientes:
- Para la asignación es hasta el 01-02 de junio (Todo el día)
- Para la copia de la clase en el cuaderno es hasta el 04 de junio (Todo el día)
- IMPORTANTE: Al enviar el correo, deben señalar los datos del estudiante:
- Nombre y Apellido
- Año y Sección
- Tipo de tarea entregada ("Asignación" o "Cuaderno")
- Las Clases-Chat por Whatsapp se realizarán bajo petición de los representantes o del grupo de estudiantes y por secciones separadas.
- El día y la hora de dicha sesión será acordada con el docente con un mínimo de 2 días de antelación.
- Las consultas finalizan el viernes de la semana previa a la entrega de la asignación.
Enviar al correo electrónico:
ernestovaquero@gmail.com
Nota: El acuse de recibo ("Recibido") de los correos se realizará en un plazo no mayor de 24 h, en caso de no recibir confirmación pasado ese tiempo, debe comunicarse con el profesor para verificar la recepción de la tarea. Antes de ese lapso no necesita escribir al docente para solicitar confirmación.
Nota Especial a los Representantes:
Estimados padres y representantes, me dirijo a ustedes para explicarles que como docente me encuentro en un proceso de autoformación en cuanto al aspecto de la educación a distancia, o como le denominan el los talleres del INDES: "Educación Remota". La incorporación de mejores y más eficientes estrategias en el proceso de enseñanza de los estudiantes pasa por una etapa de práctica y comprobación que requiere de tiempo (tanto para la adquisición del conocimiento mismo de las técnicas, como para su práctica e implementación). Como han visto desde el principio, se han combinado formas de comunicación asíncronas para la entrega de las clases (el Blog, con apoyo de los videos de terceros, el correo electrónico) con las formas síncronas (consultas directas por Whatsapp y Clases-Chat de Consulta vía Whatsapp). Es importante saber que la filosofía de la "Educación a Distancia" se basa en el concepto de proporcionar al estudiantes los medios para que pueda construir conocimientos, con la ayuda de su docente a través del proceso de retroalimentación distando de la simple estrategia de brindar "clases en línea" (por ZOOM, Google Meet, etc) o grabarse dando clases y enviarles el video a los estudiantes, esto es, por decirlo así, sólo parte accesoria de la estrategia principal, y su implementación se sujeta a las condiciones logísticas tanto de los participantes como del mismo docente para conducir la actividad (recursos, tiempo, planificación académica, entre otros). Es importante destacar que la tecnología se debe adaptar a las condiciones de acceso tecnológico que posee nuestra comunidad educativa. En este sentido se han venido empleando estrategias de bajo consumo de internet (Blogs, Whatsapp, tareas comprimidas en PDF), considerando la situación venezolana en materia de conectividad.
No obstante, las estrategias para la formación de competencias en matemáticas se refuerzan constantemente. Actualmente se agregaron los videos (cortos) incorporados en el cuerpo de la explicación, con el propósito de aumentar la cobertura en el acompañamiento (asíncrono) al estudiante mientras lee la clase (escucha y mira videos). También se ha incorporado la figura de la "rúbrica", lo cual les permite prepararse con seguridad certeza para la evaluación. De modo que poco a poco se irán mostrando alternativas didácticas, en las que veamos a los alumnos involucrarse más con actividades que combinen su aprendizaje que estimulen la motivación a la exploración de nuevos conocimientos; lo que se quiere es que ellos desarrollen las habilidades matemáticas que necesitan para su futuro desempeño académico en posteriores etapas. Les pido que tengan paciencia y que sigan apoyando a los niños en casa para que continúen adaptándose a este sistema de educación y juntos logremos una exitosa culminación del año escolar. Es muy probable que para el próximo año implemente el uso del aula virtual (en Google Classroom) para organizar las actividades académicas de los estudiantes, sin dejar de lado todo lo desarrollado hasta el momento.
¡Hasta la siguiente entrada!
¡Si todos colaboramos, la tempestad pasará en menos tiempo, y volveremos a la normalidad. Mantengámonos unidos!
M.Sc. Ernesto Vaquero
Matemáticas UEP Kalil Gibrán
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